🧮 समीकरण हल करें — चरण-दर-चरण हल के साथ

परिचय

विवेचक वह हिस्सा है जिसे समझना आवश्यक है, क्योंकि यह आपको इस बात के बारे में बताता है कि आपको किस प्रकार का उत्तर अपेक्षा करना चाहिए जब आप समाधान पूरा नहीं करते हैं। ax² + bx + c = 0 के लिए मान b² − 4ac सब कुछ निर्धारित करता है: यदि यह धनात्मक है तो परवल के ग्राफ x-अक्ष को दो बार काटता है और दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं, शून्य का मतलब है कि यह अक्ष केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है और दो मूल एक दूसरे के साथ एक पुनरावृत्त मूल में मिल जाते हैं, और ऋणात्मक मतलब है कि वक्र कभी अक्ष तक नहीं पहुंचता और दोनों मूल काल्पनिक होते हैं, जो एक संयुग्मित जोड़े के रूप में दिखाई देते हैं। यह एकल संख्या इसलिए है कि एक ग्राफ और बीजगणितीय उत्तर हमेशा सहमत रहते हैं - वे एक ही तथ्य को दो दिशाओं से वर्णित करते हैं।

तीन घात के मामले में एक फँसाव ऐसा होता है जो अधिकांश निर्मम कार्यान्वयन को फँसा लेता है। कार्डानो के सूत्र, मानक बंद रूप के समाधान, एक मात्रा के वर्गमूल को लेने की आवश्यकता होती है जो तीन वास्तविक मूलों वाले घन के समय नकारात्मक हो जाता है। यह casus irreducibilis है: तीन पूर्ण वास्तविक उत्तरों के लिए ईमानदार बीजगणितीय मार्ग अवास्तविक संख्याओं के माध्यम से गुजरता है। एक समाधानकर्ता जो कार्डानो को सीधे लागू करता है, वह ठीक उन इनपुट्स पर NaN या चुपचाप गलत आउटपुट उत्पन्न करेगा जो छात्र अधिकतम संभावना से टाइप करते हैं। यह उपकरण उस शाखा का पता लगाता है और त्रिकोणमितीय समाधान के लिए बदल जाता है, जिसमें अर्कोसाइन का उपयोग सभी तीन वास्तविक मूलों को अपने आप में बाहर निकाले बिना करता है।

युगपत समीकरणों को क्रैमर के नियम के साथ हल किया जाता है, और निर्धारक वही निदानात्मक कार्य करता है जो द्विघाती के लिए विवेचक करता है। यदि निर्धारक शून्य नहीं है तो दो रेखाएं एक बिंदु पर एक दूसरे को काटती हैं और एक अद्वितीय हल होता है। यदि यह शून्य है तो रेखाएं समानांतर होती हैं, और अगला प्रश्न यह है कि क्या वे एक ही रेखा हैं: यदि हां तो प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, और यदि नहीं तो रेखाएं कभी नहीं मिलती और कोई हल नहीं होता। "कोई हल नहीं" और "अपरिमित रूप से अनेक हल" के बीच अंतर बताना महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे एक समाधानकर्ता के लिए एक जैसे दिखते हैं जो केवल यह जांचता है कि निर्धारक गायब हो गया है या नहीं।

एक कार्यान्वयन विवरण आपको दिखाए जाने वाले चीजों पर प्रभाव डालता है। बाइनरी फ्लोटिंग पॉइंट अधिकांश दशमलव भिन्नों को ठीक से प्रतिबिम्बित नहीं कर सकता, इसलिए एक अंकगणितीय रूप से स्वच्छ मूल 0.30000000000000004 या 2.9999999999999996 के रूप में आ सकता है। प्रदर्शन से पहले दशमलव के दसवें स्थान पर परिणामों को आयतन के रूप में दिखाया जाता है, जो उस शोर को हटा देता है बिना वास्तविक आकांक्षा को छिपाए - एक ऐसा मूल जो वास्तव में 2.9999 है, अभी भी 2.9999 के रूप में दिखाई देगा। ग्राफ के परिसर जड़ों से चुने जाते हैं न कि निश्चित, इसलिए वक्र का रोचक हिस्सा हमेशा स्क्रीन पर होता है बजाय जड़ों के किनारे पर बैठे होने के।

सीमाएं बताने योग्य हैं। यह वास्तविक गुणांकों के साथ संख्यात्मक रूप से हल करता है, इसलिए यह संकेतात्मक बीजगणित नहीं करेगा, उत्तरों को बर्करार रूप में बरकरार रखेगा, अक्षरों के साथ समीकरणों का संचालन करेगा, या तीन से अधिक डिग्री तक नहीं जाएगा। एक ऐसे द्विघात के लिए जिसके मूल अपरिमेय हैं, आपको दशमलव मान प्राप्त होगा, न कि एक रेडिकल चिह्न के साथ एक अभिव्यक्ति।

कैसे उपयोग करें

1. समीकरण के प्रकार का चयन करें - द्विघात, रैखिक, त्रिघात या युगपत। पैनल के ऊपर दिखाए गए रूप बताता है कि कौन सा गुणक किस बॉक्स में जाएगा।
2. समीकरण में गुणकों के साथ उनके चिह्न दर्ज करें। 2x² − 5x + 3 = 0 के लिए यह a = 2, b = −5, c = 3 है। एक अपूर्ण पद का मतलब शून्य है, इसलिए x² − 4 = 0 का अर्थ है b = 0।
3. हल करें। पहले मूल दिखाई देते हैं, फिर नंबर वाले चरण, फिर अतिरिक्त मान - विचलन, शीर्ष, कारक रूप और मूलों के योग और गुणनफल।
4. चार्ट को देखें। वक्र जहां x-अक्ष से मिलता है वहां मूल होते हैं, इसलिए यदि चिह्नित बिंदु अंतर्च्छेद पर नहीं हैं तो आपने गुणांक के एक भाग को गलत टाइप कर दिया है।

सामान्य प्रश्न

जब कोई वास्तविक मूल नहीं होता है तो इसका क्या अर्थ है?

इसका मतलब है कि परवलूम x-अक्ष को कभी नहीं स्पर्श करता, जो तब होता है जब विचलन b² − 4ac ऋणात्मक होता है। समीकरण के पास अभी भी दो हल होते हैं, लेकिन वे एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल से संबंधित होते हैं और ऐसे लिखे जाते हैं जैसे 2 ± 3i। यदि आपकी कक्षा अभी तक सम्मिश्र संख्याओं पर काम नहीं कर रही है, तो "कोई वास्तविक मूल नहीं" उत्तर के रूप में अपेक्षित होता है और आरेख इसके कारण को स्पष्ट रूप से दिखाता है - पूरी वक्र अक्ष के ऊपर या नीचे स्थित होता है।

क्यों उत्तर में वर्गमूल के बजाय एक लंबा दशमलव दिखाया गया है?

यह एक संख्यात्मक हलकर्ता है, न कि प्रतीकात्मक। यह मान निकालता है और अभिव्यक्तियों के संचालन के बजाय। इसलिए √5 के मूल के रूप में 2.2360679775 वापस आता है, जबकि यह रेडिकल रूप में बने रहता। एक परिणाम की जांच करते समय आमतौर पर यह जो आप चाहते हैं वही होता है। यदि आपके कार्य में ठीक से सूत्र की आवश्यकता है, तो दिखाए गए चरणों का उपयोग करके इसे पुनर्निर्माण करें - विवेचक लाइन आपको मूल के नीचे की संख्या के सीधे रूप में देता है।

क्या यह तीन अज्ञात राशियों वाले समीकरणों या चौथी घात के समीकरणों को हल कर सकता है?

अभी नहीं। साथ-साथ समीकरण दो अज्ञात चरों में दो समीकरणों तक सीमित हैं, और एकल समीकरण तीसरी डिग्री तक जाते हैं। चौथी डिग्री के समीकरणों के लिए बंद-रूप वाला हल होता है, लेकिन यह इतना लंबा होता है कि एक संख्यात्मक मूल खोजकर्ता अधिक व्यावहारिक उपकरण होता है, और तीन या अधिक अज्ञात चरों वाले प्रणाली के लिए एक आवेदन गणक बेहतर होता है। अगर आपको ऐसा कोई उपकरण चाहिए, तो कहें - डिमांड ही यहां उपकरण सूची निर्धारित करता है।

क्यों कभी-कभी घन तीन मूल देता है और कभी एक?

प्रत्येक घन फलन के तीन मूल होते हैं, जिनकी गुणात्मकता के साथ गिना जाता है, लेकिन वे हमेशा वास्तविक नहीं होते। एक घन वक्र हमेशा x-अक्ष को कम से कम एक बार काटता है, जिसके कारण कभी भी ऐसा घन नहीं होता जिसके कोई वास्तविक मूल न हो, लेकिन यह एक बार काट सकता है और वापस लौट सकता है बिना अक्ष को फिर से काटे — ऐसी स्थिति में एक मूल वास्तविक होता है और अन्य दो एक सम्मिश्र जोड़ा होता है, और केवल वास्तविक मूल को दिखाया जाता है। जब वक्र तीन बार काटता है, तो तीनों वास्तविक होते हैं और तीनों दिखाए जाते हैं।

अगर मेरे युगपत समीकरणों का निर्धारक शून्य है तो क्या होगा?

तब दो रेखाएं समानांतर होती हैं और क्रैमर का नियम एक अद्वितीय उत्तर देने में असमर्थ रहता है। दो उप-केस होते हैं और उपकरण उन्हें अलग करता है: यदि समीकरण एक ही रेखा का वर्णन करते हैं, तो इस पर स्थित प्रत्येक बिंदु दोनों को संतुष्ट करता है और अपरिमित रूप से बहुत सारे हल होते हैं; यदि वे वास्तव में समानांतर लेकिन अलग रेखाओं का वर्णन करते हैं, तो वे कभी भी एक दूसरे को काटते नहीं हैं और कोई हल नहीं होता है। "कोई हल नहीं" प्राप्त करना एक वैध परिणाम है, एक त्रुटि नहीं।

क्या नेतृत्व गुणांक शून्य हो सकता है?

नहीं, और उपकरण इसे ब्लॉक करता है बजाय शून्य से विभाजन करे बिना। यदि ax² + bx + c = 0 में a शून्य है तो x² का कोई पद नहीं होता, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है - यह एक रैखिक समीकरण है और रैखिक टैब इसे सही तरीके से हल करेगा। यही तीसरा सबसे आम कारण है जो हलकर के अनंत या NaN लौटाने के लिए है, इसलिए इसे आगे के लिए पकड़ लिया जाता है।

क्या यह टूल मेरा डेटा अपलोड करता है?

नहीं। सब कुछ आपके ब्राउज़र में ही चलता है, इसलिए आपका डेटा कभी आपके डिवाइस से बाहर नहीं जाता — पेज लोड होने के बाद यह ऑफ़लाइन भी काम करता है।