🧮 เครื่องคำนวณสมการ — แสดงขั้นตอนการคำนวณ

เกี่ยวกับ

ดิสคริมิแนนต์เป็นส่วนที่ควรเข้าใจ เพราะมันบอกคุณล่วงหน้าว่าคุณจะได้คำตอบประเภทใดก่อนที่คุณจะแก้สมการเสร็จ สำหรับสมการ ax² + bx + c = 0 ค่า b² − 4ac คือสิ่งที่กำหนดทุกอย่าง: ค่าบวกหมายความว่าพาราโบลาตัดแกน x สองจุด และมีรากจริงสองค่าที่แตกต่างกัน ค่าศูนย์หมายความว่าพาราโบลาสัมผัสแกน x ที่จุดเดียว และรากทั้งสองจะรวมกันเป็นรากซ้ำ ค่าลบหมายความว่าเส้นโค้งไม่เคยไปถึงแกน x และรากทั้งสองเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งจะปรากฏเป็นคู่ที่เป็นสังยุคกัน ตัวเลขเดียวนี้คือเหตุผลที่กราฟและคำตอบทางพีชคณิตจะตรงกันเสมอ — เพราะพวกมันอธิบายข้อเท็จจริงเดียวกันจากมุมมองที่ต่างกัน

กรณีของสมการกำลังสามมีข้อผิดพลาดที่หลอกหลอนการดำเนินการทั่วไปส่วนใหญ่ ฟอร์มูลาของคาร์ดานโน ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาแบบปิดที่ใช้บ่อย ต้องการหาค่ารากที่สองของจำนวนที่เป็นลบเมื่อสมการกำลังสามมีรากจริงสามค่า นี่คือ casus irreducibilis: ทางพีชคณิตที่ถูกต้องเพื่อหาคำตอบที่เป็นจริงสามค่าจะต้องผ่านจำนวนเชิงซ้อน ตัวเครื่องคำนวณที่ใช้คาร์ดานโนโดยตรงจะผลิตค่า NaN หรือผลลัพธ์ที่ผิดเงียบๆ สำหรับข้อมูลที่นักเรียนมักจะพิมพ์ ตัวเครื่องนี้สามารถตรวจจับกรณีนี้ได้และเปลี่ยนไปใช้การแก้สมการแบบตรีโกณมิติ โดยใช้ arccosine เพื่อหาค่ารากทั้งสามที่เป็นจริงโดยไม่ต้องออกจากจำนวนจริงเลย

ระบบสมการจะถูกแก้โดยใช้กฎของคราเมอร์ และค่าดีเทอร์มิแนนต์มีบทบาทเชิงวินิจฉัยเดียวกับดิสคริมิแนนต์ในสมการกำลังสอง หากค่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ สองเส้นตรงจะตัดกันที่จุดเดียว และมีคำตอบเดียว หากค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ เส้นตรงจะขนานกัน และคำถามต่อไปคือว่าเส้นตรงทั้งสองนั้นเป็นเส้นเดียวกันหรือไม่: หากเป็นเส้นเดียวกัน ทุกจุดจะทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง และมีคำตอบจำนวนไม่จำกัด หากไม่ใช่เส้นเดียวกัน เส้นตรงจะไม่มีจุดที่ตัดกันเลย และไม่มีคำตอบเลย การรายงานว่า "ไม่มีคำตอบ" และ "มีคำตอบจำนวนไม่จำกัด" เป็นผลลัพธ์ที่ต่างกัน มีความสำคัญ เพราะมันดูเหมือนกันสำหรับเครื่องคำนวณที่ตรวจสอบเพียงว่าค่าดีเทอร์มิแนนต์หายไปหรือไม่

รายละเอียดหนึ่งที่มีผลต่อสิ่งที่คุณเห็นคือ ค่าทศนิยมแบบไบนารีไม่สามารถแสดงค่าเศษส่วนทศนิยมส่วนใหญ่ได้อย่างถูกต้อง ดังนั้นรากที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์อาจมาในรูปแบบของ 0.30000000000000004 หรือ 2.9999999999999996 ผลลัพธ์จะถูกปัดเศษที่ตำแหน่งทศนิยมที่ 10 ก่อนแสดงผล ซึ่งจะลบเสียงรบกวนนั้นโดยไม่ซ่อนความแม่นยำที่แท้จริง — รากที่แท้จริงคือ 2.9999 จะยังแสดงเป็น 2.9999 ช่วงของกราฟจะถูกเลือกจากค่าราก ไม่ใช่ค่าคงที่ ดังนั้นส่วนที่น่าสนใจของเส้นโค้งจะอยู่บนหน้าจอเสมอ ไม่ใช่รากที่อยู่ที่ขอบด้านนอก

ขอบเขตที่ควรระบุคือ ตัวเครื่องนี้แก้สมการด้วยสัมประสิทธิ์จริง ดังนั้นจึงไม่สามารถทำพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ รักษาคำตอบเป็นรากที่สองที่แม่นยำหรือเศษส่วน แก้สมการที่มีตัวอักษรเป็นพารามิเตอร์ หรือไปถึงระดับสูงกว่า 3 สำหรับสมการกำลังสองที่มีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงคุณจะได้ค่าทศนิยม ไม่ใช่การเขียนในรูปของรากที่สอง

วิธีใช้งาน

1. เลือกประเภทสมการ — กำลังสอง, เส้นตรง, กำลังสาม หรือระบบสมการ รูปแบบที่อยู่ด้านบนของแผงแสดงให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์ใดควรใส่ในช่องใด
2. ใส่ค่าสัมประสิทธิ์รวมถึงเครื่องหมายของมัน สำหรับสมการ 2x² − 5x + 3 = 0 ค่า a = 2, b = −5, c = 3 หากไม่มีพจน์ใดพจน์หนึ่ง ให้ใส่เป็นศูนย์ ดังนั้น x² − 4 = 0 หมายความว่า b = 0
3. กดปุ่ม Solve รากของสมการจะปรากฏขึ้นก่อน ตามด้วยขั้นตอนที่มีเลขลำดับ แล้วค่าเพิ่มเติม — ดิสคริมิแนนต์, จุดยอด, รูปแบบแยกตัวประกอบ และผลรวมและผลคูณของราก
4. ตรวจสอบกราฟ ที่ซึ่งเส้นโค้งสัมผัสแกน x คือตำแหน่งของราก ดังนั้นหากจุดที่ทำเครื่องหมายไม่ตรงกับจุดที่เส้นโค้งตัดแกน x คุณอาจพิมพ์ค่าสัมประสิทธิ์ผิดไป

คำถามที่พบบ่อย

เมื่อไม่มีรากจริงหมายถึงอะไร?

หมายถึงพาราโบลาไม่เคยสัมผัสแกน x ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อดิสคริมิแนนต์ b² − 4ac เป็นลบ สมการยังมีคำตอบสองคำตอบ แต่คำตอบเหล่านั้นเกี่ยวข้องกับรากที่สองของจำนวนลบ และเขียนในรูปคู่สังยุคเชิงซ้อน เช่น 2 ± 3i หากหลักสูตรของคุณยังไม่ได้ครอบคลุมจำนวนเชิงซ้อน "ไม่มีรากจริง" คือคำตอบที่คาดหวัง และกราฟทำให้เห็นได้อย่างชัดเจน — เส้นโค้งทั้งหมดอยู่เหนือหรือใต้แกน x

ทำไมคำตอบถึงแสดงเป็นทศนิยมยาวแทนที่จะเป็นรากที่สอง?

นี่คือเครื่องคำนวณเชิงตัวเลข ไม่ใช่เครื่องคำนวณเชิงสัญลักษณ์ มันคำนวณค่าแทนที่จะจัดการกับนิพจน์ ดังนั้นรากของ √5 จะกลับมาเป็น 2.2360679775 แทนที่จะอยู่ในรูปแบบรากที่สอง สำหรับการตรวจสอบผลลัพธ์ที่คุณต้องการมักจะเป็นสิ่งนี้ หากงานของคุณต้องการรากที่แม่นยำ ใช้ขั้นตอนที่แสดงเพื่อสร้างมันขึ้นมาใหม่ — บรรทัดดิสคริมิแนนต์จะให้คุณค่าที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากโดยตรง

มันสามารถแก้สมการที่มีตัวแปรสามตัว หรือสมการกำลังสี่ได้ไหม?

ไม่สามารถทำได้ในตอนนี้ สมการพร้อมกันถูกจำกัดไว้แค่สองสมการในสองตัวแปร และสมการเดี่ยวสามารถแก้ได้ถึงระดับสาม สมการกำลังสี่มีวิธีแก้แบบปิด แต่มันยาวพอที่เครื่องมือค้นหาค่ารากเชิงตัวเลขจะเป็นเครื่องมือที่เหมาะสมกว่า และระบบที่มีตัวแปรสามตัวหรือมากกว่านั้นจะเหมาะกับเครื่องคำนวณเมทริกซ์มากกว่า หากคุณต้องการเครื่องมือเหล่านั้น บอกมาเลย — ความต้องการคือสิ่งที่กำหนดรายการเครื่องมือที่นี่

ทำไมสมการกำลังสามบางครั้งจะแสดงรากสามราก และบางครั้งแค่รากเดียว?

สมการกำลังสามทุกสมการมีรากสามรากเมื่อรวมจำนวนรากที่ซ้ำกัน แต่ไม่เสมอไปที่จะเป็นรากจริงทั้งหมด เส้นโค้งกำลังสามจะตัดแกน x อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ซึ่งเป็นเหตุผลที่ไม่มีสมการกำลังสามที่ไม่มีรากจริงเลย แต่อาจตัดครั้งเดียวแล้วกลับมาโดยไม่ไปถึงแกน x อีกครั้ง — ในกรณีนี้มีรากจริงหนึ่งราก และอีกสองรากเป็นคู่เชิงซ้อน และแสดงเฉพาะรากจริงเพียงรากเดียว เมื่อเส้นโค้งตัดแกน x สามครั้ง ทั้งสามรากจะเป็นรากจริงทั้งหมดและแสดงทั้งหมด

หากค่าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสมการของฉันเป็นศูนย์?

นั่นหมายความว่าเส้นตรงสองเส้นนั้นขนานกัน และกฎของคราเมอร์ไม่สามารถให้คำตอบที่เป็นเอกลักษณ์ได้ มีสองกรณีย่อย และเครื่องมือสามารถแยกแยะได้: หากสมการอธิบายเส้นตรงเดียวกัน ทุกจุดบนเส้นตรงนั้นจะทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง และมีคำตอบจำนวนไม่จำกัด หากสมการอธิบายเส้นตรงที่ขนานกันแต่ต่างกัน พวกมันจะไม่มีจุดที่ตัดกันเลย และไม่มีคำตอบเลย การได้รับคำตอบ "ไม่มีคำตอบ" เป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ไม่ใช่ข้อผิดพลาด

สัมประสิทธิ์หลักสามารถเป็นศูนย์ได้ไหม?

ไม่ได้ และเครื่องมือจะบล็อกการใช้งานแทนที่จะแบ่งด้วยศูนย์เงียบๆ หาก a = 0 ในสมการ ax² + bx + c = 0 จะไม่มีพจน์ x² ดังนั้นมันไม่ใช่สมการกำลังสองเลย แต่เป็นสมการเชิงเส้น และแท็บเชิงเส้นจะแก้สมการนี้ได้อย่างถูกต้อง หลักการเดียวกันนี้ใช้กับแท็บสมการกำลังสามด้วย นี่คือสาเหตุหลักที่เครื่องมือจะคืนค่าอนันต์หรือ NaN ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันถูกจับได้ตั้งแต่ต้น

เครื่องมือนี้จะอัปโหลดข้อมูลของฉันหรือไม่?

ไม่ ทุกอย่างทำงานในเบราว์เซอร์ของคุณ ดังนั้นข้อมูลของคุณจึงไม่เคยออกจากอุปกรณ์ของคุณ — และหลังจากโหลดหน้าแล้วยังใช้งานแบบออฟไลน์ได้ด้วย