🧮 Máy giải phương trình — Hiển thị từng bước giải

Giới thiệu

Biệt thức là phần đáng hiểu, vì nó cho bạn biết loại đáp án nào bạn sẽ nhận được trước khi hoàn thành việc giải. Đối với phương trình ax² + bx + c = 0, giá trị b² − 4ac quyết định mọi thứ: dương có nghĩa là parabol cắt trục hoành hai lần và có hai nghiệm thực phân biệt, bằng 0 có nghĩa là nó chạm trục tại một điểm duy nhất và hai nghiệm trùng nhau, âm có nghĩa là đường cong không bao giờ đạt đến trục và cả hai nghiệm đều là số phức, xuất hiện dưới dạng cặp số phức liên hợp. Con số duy nhất này là lý do tại sao đồ thị và đáp án đại số luôn đồng ý — chúng mô tả cùng một sự thật từ hai hướng khác nhau.

Trường hợp bậc ba chứa một cái bẫy bắt được hầu hết các triển khai sơ đẳng. Công thức Cardano, phương pháp giải chuẩn dạng khép kín, yêu cầu tính căn bậc hai của một lượng âm chính xác khi phương trình bậc ba có ba nghiệm thực. Đây là trường hợp không thể giảm được (casus irreducibilis): con đường đại số trung thực dẫn đến ba nghiệm thực hoàn toàn chạy qua các số phức. Một máy giải áp dụng trực tiếp công thức Cardano sẽ tạo ra NaN hoặc đầu ra sai không rõ ràng chính xác tại những đầu vào mà sinh viên có khả năng nhập nhất. Công cụ này phát hiện nhánh đó và chuyển sang giải pháp lượng giác, sử dụng arccos để trích xuất tất cả ba nghiệm thực mà không bao giờ rời khỏi các số thực.

Hệ phương trình được giải bằng quy tắc Cramer, và định thức đóng vai trò chẩn đoán tương tự như biệt thức đối với phương trình bậc hai. Nếu định thức không bằng 0, hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất và có một nghiệm duy nhất. Nếu bằng 0, các đường thẳng song song, và câu hỏi tiếp theo là xem chúng có phải là cùng một đường thẳng hay không: nếu có, mọi điểm đều thỏa mãn cả hai phương trình và có vô số nghiệm, nếu không, các đường thẳng không bao giờ gặp nhau và không có nghiệm nào cả. Việc báo cáo "không có nghiệm" và "vô số nghiệm" là các kết quả khác nhau, vì chúng trông giống nhau đối với một máy giải chỉ kiểm tra xem định thức có triệt tiêu hay không.

Một chi tiết triển khai ảnh hưởng đến những gì bạn nhìn thấy. Số phẩy động nhị phân không thể biểu diễn chính xác hầu hết các phân số thập phân, vì vậy một nghiệm toán học sạch sẽ có thể đến dưới dạng 0.30000000000000004 hoặc 2.9999999999999996. Kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ mười trước khi hiển thị, điều này loại bỏ tiếng ồn mà không che giấu độ chính xác thực sự — một nghiệm thực sự là 2.9999 sẽ vẫn hiển thị là 2.9999. Phạm vi đồ thị được chọn từ các nghiệm thay vì cố định, vì vậy phần thú vị của đường cong luôn hiển thị trên màn hình thay vì các nghiệm nằm ở đâu đó bên ngoài màn hình.

Các giới hạn đáng nói. Máy này giải bằng số với các hệ số thực, vì vậy nó sẽ không thực hiện đại số biểu tượng, giữ đáp án dưới dạng căn bậc hai hoặc phân số chính xác, xử lý phương trình có chữ cái làm tham số, hoặc vượt quá bậc ba. Đối với phương trình bậc hai có nghiệm vô tỉ, bạn sẽ nhận được giá trị thập phân, không phải biểu thức chứa dấu căn.

Cách sử dụng

1. Chọn loại phương trình — bậc hai, bậc nhất, bậc ba hoặc hệ phương trình. Hình thức ở đầu bảng hiển thị chính xác hệ số nào đi vào ô nào.
2. Nhập các hệ số bao gồm cả dấu của chúng. Đối với 2x² − 5x + 3 = 0, đó là a = 2, b = −5, c = 3. Một số hạng bị thiếu là 0, vì vậy x² − 4 = 0 có nghĩa là b = 0.
3. Nhấn Giải. Các nghiệm xuất hiện trước, sau đó là các bước được đánh số, rồi đến các giá trị bổ sung — biệt thức, đỉnh, dạng nhân tử và tổng và tích của các nghiệm.
4. Kiểm tra đồ thị. Nơi đường cong gặp trục hoành là nơi các nghiệm nằm, vì vậy nếu các điểm được đánh dấu không nằm trên các giao điểm, bạn đã nhập sai hệ số.

Câu hỏi thường gặp

Điều gì xảy ra khi không có nghiệm thực?

Điều này có nghĩa là parabol không bao giờ chạm trục hoành, điều này xảy ra khi biệt thức b² − 4ac là âm. Phương trình vẫn có hai nghiệm, nhưng chúng liên quan đến căn bậc hai của một số âm và được viết dưới dạng cặp số phức liên hợp như 2 ± 3i. Nếu khóa học của bạn chưa đề cập đến số phức, "không có nghiệm thực" là câu trả lời mong đợi và đồ thị làm rõ lý do — toàn bộ đường cong nằm phía trên hoặc dưới trục.

Tại sao đáp án hiển thị một số thập phân dài thay vì căn bậc hai?

Đây là một máy giải số, không phải máy giải biểu tượng. Nó tính toán các giá trị thay vì thao tác các biểu thức, vì vậy một nghiệm √5 sẽ trả về 2.2360679775 thay vì giữ nguyên dạng căn. Đối với việc kiểm tra kết quả, đây thường là điều bạn muốn. Nếu bài tập của bạn yêu cầu nghiệm chính xác dưới dạng căn, hãy sử dụng các bước hiển thị để tái tạo nó — dòng biệt thức sẽ cho bạn số dưới dấu căn trực tiếp.

Nó có thể giải các phương trình có ba ẩn số, hoặc bậc bốn không?

Không, hiện tại không. Hệ phương trình bị giới hạn ở hai phương trình với hai ẩn số, và các phương trình đơn lẻ có thể lên đến bậc ba. Các phương trình bậc bốn có giải pháp dạng khép kín nhưng quá dài để một công cụ tìm nghiệm số là hữu ích hơn, và các hệ thống có ba hoặc nhiều ẩn số được phục vụ tốt hơn bởi một máy tính ma trận. Nếu bạn cần một trong những công cụ đó, hãy nói — nhu cầu là cách mà danh sách công cụ được xác định ở đây.

Tại sao phương trình bậc ba đôi khi hiển thị ba nghiệm và đôi khi chỉ một?

Mỗi phương trình bậc ba có ba nghiệm được tính theo độ bội, nhưng không phải lúc nào chúng cũng đều thực. Một đường cong bậc ba luôn cắt trục hoành ít nhất một lần, vì vậy không bao giờ có phương trình bậc ba nào không có nghiệm thực nào cả, nhưng nó có thể cắt một lần và quay lại mà không đạt đến trục lần nữa — trong trường hợp này, một nghiệm là thực và hai nghiệm còn lại là một cặp số phức, và chỉ nghiệm thực được liệt kê. Khi đường cong cắt ba lần, cả ba nghiệm đều thực và cả ba đều được hiển thị.

Nếu định thức của hệ phương trình của tôi bằng 0?

Khi đó hai đường thẳng song song và quy tắc Cramer không thể cung cấp một đáp án duy nhất. Có hai trường hợp phụ và công cụ phân biệt chúng: nếu các phương trình mô tả cùng một đường thẳng, mọi điểm trên đường thẳng đều thỏa mãn cả hai và có vô số nghiệm; nếu chúng mô tả các đường thẳng song song nhưng khác nhau, chúng không bao giờ giao nhau và không có nghiệm nào cả. Nhận được "không có nghiệm" là một kết quả hợp lệ, không phải là lỗi.

Hệ số đầu có được phép bằng 0 không?

Không, và công cụ sẽ chặn điều này thay vì chia cho 0 một cách im lặng. Nếu a bằng 0 trong ax² + bx + c = 0, không có số hạng x², vì vậy đó không phải là phương trình bậc hai — đó là phương trình bậc nhất và tab bậc nhất sẽ giải nó chính xác. Điều này cũng áp dụng cho tab bậc ba. Đây là nguyên nhân phổ biến nhất khiến máy giải trả về vô cực hoặc NaN, vì vậy nó được kiểm tra ngay từ đầu.

Công cụ này có tải dữ liệu của tôi lên không?

Không. Mọi thứ chạy ngay trong trình duyệt nên dữ liệu của bạn không bao giờ rời khỏi thiết bị — sau khi tải trang, công cụ còn hoạt động ngoại tuyến.