🧮 方程求解器 — 顯示解題過程
輸入係數，按下『解』，你將得到根以及產生這些根的步驟。對於二次方程，你還會得到判別式、頂點、對稱軸、因式分解形式以及標記根的圖形，顯示曲線與x軸的交點。大多數求解器只會返回一個數字；實際上你真正需要的是解題過程，特別是當你在檢查作業時，而不是只為了完成作業。
方程式求解器用來找出使方程式成立的未知數的值。這個求解器可以處理一次方程（ax + b = 0）、二次方程（ax² + bx + c = 0）、三次方程（ax³ + bx² + cx + d = 0）以及雙變數聯立方程，並顯示所使用的代數過程，而不僅僅是答案。
隱私優先設計. 此工具完全在您的瀏覽器中運行 — 您輸入的內容不會上傳或儲存，而且它可以在離線狀態下使用。
關於
判別式是值得理解的部分，因為它告訴你還未完成解題之前，可以預期得到什麼樣的結果。對於ax² + bx + c = 0，值b² − 4ac決定了所有內容：正數表示拋物線與x軸相交兩次，存在兩個不同的實數根；零表示它僅在一點接觸軸，兩個根重合為重根；負數表示曲線永遠無法到達軸，兩個根都是複數，以共軛對的形式出現。這個單一數字就是為何圖形與代數答案總是吻合的原因——它們從兩個方向描述了相同的事實。
三次方程的情況中包含了一個會讓大多數朴素的實作方式陷入陷阱。卡丹公式，即標準的閉合形式解，需要計算一個在三次方程有三個實數根時會變成負數的數值的平方根。這就是不可簡約的情形：通往三個完全實數答案的誠實代數路徑必須經過虛數。直接套用卡丹公式的求解器會在學生最可能輸入的輸入上產生NaN或靜默錯誤的輸出。這個工具會偵測到這個分支，並切換到三角函數解法，使用反餘弦函數來提取所有三個實數根，而從未離開實數範圍。
聯立方程使用克萊姆法則求解，而行列式在二次方程中扮演與判別式相同的診斷角色。如果行列式不為零，兩條線在一點交叉，存在唯一解；如果為零，兩條線平行，接下來的問題是它們是否為同一直線：如果是，則所有點都符合兩條方程，存在無限多個解；如果不是，則兩條線永遠不會相交，完全沒有解。報告『無解』和『無限多解』作為不同結果很重要，因為它們對只檢查行列式是否為零的求解器來說看起來是一樣的。
有一個實現細節會影響你看到的內容。二進位浮點數無法精確表示大多數十進位分數，因此一個算術上乾淨的根可能會以0.30000000000000004或2.9999999999999996的形式出現。結果在顯示前會在小數點後第十位進行四捨五入，這會去除噪音而不會隱藏真正的精確度——如果根真的為2.9999，它仍會顯示為2.9999。圖形範圍是根據根來選擇的，而不是固定的，因此曲線中有趣的部分總是顯示在螢幕上，而不是根位於螢幕邊緣之外。
這些限制值得說明。這個工具使用實數係數進行數值解，因此它不會進行符號代數、保留精確的根號或分數形式、處理含有字母作為參數的方程，或處理三次方以上的方程。對於根為無理數的二次方程，你會得到小數值，而不是帶有根號的表達式。
如何使用
- 選擇方程類型 — 二次方程、一次方程、三次方程或聯立方程。面板頂部的表單會顯示每個係數應放入哪個方框中。
- 輸入係數，包括其符號。對於2x² − 5x + 3 = 0，那是a = 2，b = −5，c = 3。如果缺少某個項，則該係數為零，因此x² − 4 = 0表示b = 0。
- 按下『解』。根會首先出現，然後是編號的步驟，最後是額外值 — 判別式、頂點、因式分解形式以及根的和與乘積。
- 檢查圖形。曲線與x軸相交的地方就是根的位置，因此如果標記的點不在交點上，表示你輸入係數時有誤。
常見問題
- 當沒有實數根時是什麼意思？
- 這表示拋物線從未接觸x軸，這發生在判別式b² − 4ac為負數時。方程仍然有兩個解，但它們涉及負數的平方根，並以共軛複數對的形式寫出，例如2 ± 3i。如果你的課程尚未涵蓋複數，則『沒有實數根』是預期的答案，而圖形會清楚顯示原因——整個曲線位於軸的上方或下方。
- 為何答案顯示長小數而不是平方根？
- 這是一個數值求解器，而不是符號求解器。它計算值而不是操作表達式，因此√5的根會返回為2.2360679775，而不是保持根號形式。如果你需要驗證結果，這通常是你要的。如果你的作業需要精確的根號形式，請使用顯示的步驟來重建它——判別式行直接給出根號下的數字。
- 它可以解有三個未知數的方程，或四次方程嗎？
- 目前還不能。聯立方程僅限於兩個方程和兩個未知數，而單個方程最多到三次。四次方程確實有閉合形式的解，但其長度足以讓數值根查找器成為更實用的工具，而有三個或更多未知數的系統則更適合使用矩陣計算器。如果你需要這些工具，請說明——需求是決定工具列表的關鍵。
- 為何三次方程有時顯示三個根，有時只顯示一個？
- 每一個三次方程都有三個根（計重複），但並非總是全部為實數。三次曲線總是至少與x軸交叉一次，這就是為何從來沒有完全沒有實數根的三次方程，但它可能只交叉一次，然後回頭而不再接觸軸——在這種情況下，有一個實數根，另外兩個是複數對，只列出實數根。當曲線交叉三次時，所有三個都是實數，並全部顯示。
- 如果我的聯立方程的行列式為零，會怎麼樣？
- 這表示兩條線是平行的，克萊姆法則無法提供唯一答案。有兩個子情況，工具會區分它們：如果方程描述的是同一直線，則直線上所有點都符合兩條方程，存在無限多個解；如果它們描述的是真正平行但不同的線，則它們永遠不會相交，完全沒有解。得到『無解』是有效的結果，而不是錯誤。
- 首項係數可以為零嗎？
- 不可以，工具會阻止這種情況，而不是靜默地除以零。如果ax² + bx + c = 0中的a為零，則沒有x²項，因此它根本不是二次方程，而是一次方程，一次方程的選項會正確地解出它。三次方程的選項也是如此。這是求解器返回無窮大或NaN的最常見原因，因此會在最前面處理這個問題。
- 此工具會上傳我的資料嗎？
- 不會。所有運作都在您的瀏覽器中進行，因此您的資料永遠不會離開您的設備 — 頁面載入後，它甚至可以在離線狀態下使用。