🧮 مُحلّل المعادلات — مع إظهار الخطوات

حول

المميز هو الجزء الذي يستحق الفهم، لأنه يخبرك نوع الإجابة المتوقعة قبل انتهاء حل المعادلة. بالنسبة للمعادلة ax² + bx + c = 0، فإن قيمة b² − 4ac تحدد كل شيء: إذا كانت موجبة، فهذا يعني أن المنحنى المكافئ يقطع محور x مرتين، وهناك جذور حقيقية متميزة. إذا كانت صفرًا، فهذا يعني أن المنحنى يلمس المحور في نقطة واحدة فقط، والجذور تتطابق لتصبح جذرًا متكررًا. وإذا كانت سالبة، فهذا يعني أن المنحنى لا يصل أبدًا إلى المحور، والجذور كلاهما معقدة، وتظهر كزوج مترافق. هذا الرقم الوحيد هو السبب الذي يجعل الرسم البياني والإجابة الجبرية دائمًا يتفقان، لأنهما يصفان نفس الحقيقة من اتجاهين مختلفين.

الحالة المكعبة تحتوي على فخ يوقع معظم التنفيذات البسيطة. صيغة كاردانو، وهي الحل المعروف بالصيغة المغلقة، تتطلب أخذ الجذر التربيعي لعدد يصبح سالبًا بالضبط عندما تكون للمعادلة المكعبة ثلاث جذور حقيقية. هذه هي حالة غير قابلة للتخفيض: الطريق الجبرية الصادقة للحصول على ثلاث إجابات حقيقية تمامًا تمر عبر الأعداد المركبة. أي مُحلل يطبق كاردانو مباشرة سيؤدي إلى NaN أو إخراج خاطئ صامت تمامًا على المدخلات التي من المرجح أن يكتبها الطالب. هذه الأداة تكتشف هذا الفرع وتتحول إلى الحل المثلثي، باستخدام دالة قوس جيب التمام لاستخراج جميع الجذور الثلاثة الحقيقية دون الخروج من الأعداد الحقيقية أبدًا.

أنظمة المعادلات تُحل باستخدام قاعدة كرامر، ويقوم المحدد بنفس الدور التشخيصي الذي يقوم به التمييز في المعادلات التربيعية. إذا كان المحدد غير صفري، فإن الخطين يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، وهناك حل وحيد. إذا كان صفرًا، فإن الخطوط متوازية، والسؤال التالي هو ما إذا كانت هما نفس الخط: إذا كان كذلك، فإن كل نقطة تحقق كلا المعادلتين، وهناك عدد لا نهائي من الحلول، وإذا لم يكن كذلك، فإن الخطوط لا تلتقي أبدًا، ولا يوجد حل إطلاقًا. من المهم الإبلاغ عن "لا يوجد حل" و"عدد لا نهائي من الحلول" كنتائج مختلفة، لأنها تبدو متطابقة لمحول يتحقق فقط من ما إذا كان المحدد قد اختفى.

تؤثر تفاصيل تنفيذ واحدة على ما تراه. لا يمكن تمثيل معظم الكسور العشرية بدقة في النظام الثنائي العشري، لذا يمكن أن تصل جذرًا حسابيًا نظيفًا كـ 0.30000000000000004 أو 2.9999999999999996. تتم تقريب النتائج إلى المنزلة العاشرة قبل عرضها، مما يزيل هذه الضوضاء دون إخفاء الدقة الحقيقية — الجذر الذي هو فعلاً 2.9999 سيظل ظاهرًا كـ 2.9999. تُحدد مجموعات الرسم من الجذور وليس من ثابت، لذا فإن الجزء المثير من المنحنى دائمًا يكون على الشاشة بدلًا من أن يكون الجذور مُحاطة بجوانب خارج الحدود.

من المهم الإشارة إلى الحدود. هذا يحل بشكل عددية باستخدام معاملات حقيقية، لذا لن يقوم بإجراء الجبر الرمزي، أو يحتفظ بالإجابات كجذور دقيقة أو كسور، أو يتعامل مع المعادلات التي تحتوي على أحرف كمعلمات، أو يتجاوز الدرجة الثالثة. بالنسبة للمعادلة التربيعية التي لها جذور غير منطقية، ستحصل على القيمة العشرية، وليس التعبير الذي يحتوي على رمز الجذر.

كيف تستخدم

1. اختر نوع المعادلة — تربيعية، خطية، مكعبة أو معادلات متزامنة. يُظهر النموذج في الأعلى في اللوحة بشكل دقيق أي معامل يدخل في أي مربع.
2. أدخل المعاملات بما في ذلك إشاراتها. بالنسبة إلى 2x² − 5x + 3 = 0، هذا يعني أن a = 2، وb = −5، وc = 3. إذا ناقصت مصطلب، فهذا يعني أنه يساوي صفرًا، لذا فإن x² − 4 = 0 يعني أن b = 0.
3. اضغط على حل. تظهر الجذور أولاً، ثم الخطوات المُرقمّة، ثم القيم الإضافية — المميز، الرأس، الشكل المُعامل، ومجموع الجذور ومنتجها.
4. تحقق من الرسم البياني. حيث تلتقي المنحنى مع محور x هي الجذور، لذا إذا لم تقع النقاط المميزة على هذه التداخلات، فقد قمت بكتابة معامل خاطئ.

الأسئلة الشائعة

ما معنى عدم وجود جذور حقيقية؟

هذا يعني أن المقطع المكافئ لا يلمس محور x أبدًا، وهو يحدث عندما يكون المميز b² − 4ac سالبًا. لا تزال المعادلة لها حلين، لكنهما يتضمنان جذر عدد سالب ويُكتبان كزوج مترافق مع الأعداد المركبة مثل 2 ± 3i. إذا لم تكن قد تعلمت بعد الأعداد المركبة في مسارك الدراسي، فإن الجواب المتوقع هو "لا توجد جذور حقيقية"، ويمكن رؤية السبب من الرسم البياني — حيث يقع منحنى بأكمله أعلاه أو تحت المحور.

لماذا تظهر الإجابة بصيغة عدد عشري طويل بدلًا من الجذر التربيعي؟

هذا مُحلل عددية، وليس رمزيًا. يقوم بحساب القيم بدلًا من تعديل التعبيرات، لذا فإن الجذر التربيعي لـ √5 يعود كـ 2.2360679775 بدلًا من أن يبقى في الشكل الجذري. عند التحقق من نتيجة، هذا ما تريده عادةً. إذا طلب منك التمرين الجذر الدقيق، استخدم الخطوات المعروضة لإعادة بنائه — تُعطي سطر التمييز العدد الموجود تحت علامة الجذر مباشرةً.

هل يمكنه حل المعادلات ذات ثلاث مجهولات أو معادلات من الدرجة الرابعة؟

لا، في الوقت الحالي. المعادلات المتزامنة محدودة بمعادلتين في مجهولين، ومعادلات الفردية تصل إلى درجة ثلاثة. معادلات الدرجة الرابعة لها حلول مغلقة، لكنها طويلة بما يكفي أن يجعل أدوات البحث عن الجذور العددية أكثر عملية، ومعادلات الأنظمة التي تحتوي على ثلاثة أو أكثر من المجاهيل تُخدم بشكل أفضل بواسطة مُحسِّن المصفوفات. إذا كنت بحاجة إلى واحدة من هذه الأدوات، فأخبرني — الطلب هو ما يحدد قائمة الأدوات هنا.

لماذا تُعطي المعادلة المكعبة أحيانًا ثلاث جذور وأحيانًا جذرًا واحدًا؟

لكل مكعب ثلاث جذور تُحسب مع تكرارها، لكنها ليست دائمًا جميعها حقيقية. دائمًا ما تقطع منحنى المكعب محور x مرة واحدة على الأقل، وهذا هو السبب في أن هناك منحنى مكعيبيًا لا يحتوي على أي جذور حقيقية على الإطلاق، لكنه قد يقطع مرة واحدة ويعود مرة أخرى دون الوصول إلى المحور مرة أخرى - في هذه الحالة تكون إحدى الجذور حقيقية والأخريان اثنتان زوج من الأعداد المركبة، ويُعرض فقط الحقيقي منها. عندما يقطع المنحنى ثلاث مرات، تكون جميعها حقيقية ويُعرض كل منها.

ماذا لو كان المحدد لمعادلتي المترابطة صفرًا؟

ثم تصبح الخطوط متوازية، ولا يمكن لقاعدة كرامر تقديم إجابة فريدة. هناك نوعان فرعيان، ويتم التمييز بينهما بالوسيلة: إذا وصفت المعادلتان نفس الخط، فإن كل نقطة عليه تحقق الشرطين، وبالتالي هناك عدد لا نهائي من الحلول؛ وإذا وصفت معادلتان خطين متوازيين مختلفين، فإنهما لا يلتقيان أبداً، وبالتالي لا يوجد حل. الحصول على "لا يوجد حل" هو نتيجة صحيحة، وليس خطأ.

هل يسمح بجعل المعامل الرئيسي صفرًا؟

لا، بل تمنع الأداة ذلك بدلاً من أن تقسم بصمت على الصفر. إذا كان a يساوي صفرًا في المعادلة ax² + bx + c = 0، فإن هناك لا يوجد مصطلح x²، وبالتالي فهي ليست معادلة تربيعية على الإطلاق — إنها معادلة خطية، و-tab الخطّي سيحلها بشكل صحيح. ينطبق الشيء نفسه على tab المكعب. هذا هو السبب الرئيسي والأكثر شيوعًا لعودة مُحلّل المعادلات إلى ما لا نهاية أو NaN، وهذا هو السبب الذي يجعل هذا الشيء يتم التقاطه في البداية.

هل هذه الأداة ترفع بياناتي؟

لا. يعمل كل شيء مباشرة في متصفحك، لذا بياناتك لن تغادر جهازك أبداً — بل إنها تعمل دون اتصال بالإنترنت بمجرد تحميل الصفحة.